*** Repère-toi bien !

Soit \(\text{ABC}\) un triangle d'aire non nulle. On considère les points \(\text{E, F}\) et \(\text{G}\) définis par :

• \(\text{E}\) est le milieu du segment \([\text{AC}]\) ;
  
• \(\overrightarrow{\text{AF}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}\) ;
• \(\text{G}\) est le symétrique du point \(\text{B}\) par rapport au point \(\text{C}\).
  

On se place dans le repère \(\left(\text{B}~ ; \overrightarrow{\text{BC}} ,\overrightarrow{\text{BA}} \right)\)du plan.
1. Faire une figure et placer les points \(\text{E, F}\) et \(\text{G}\).

2. a. Démontrer, en utilisant deux relations de Chasles, que \(\overrightarrow{\text{BE}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BC}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BA}}\).
     b. En déduire les coordonnées du point \(\text{E}\) dans le repère \(\left(\text{B}~ ; \overrightarrow{\text{BC}} ,\overrightarrow{\text{BA}} \right)\).

3. En suivant la même méthode que précédemment, déterminer les coordonnées des points \(\text{F}\) et \(\text{G}\) dans le repère\(\left(\text{B}~ ; \overrightarrow{\text{BC}} ,\overrightarrow{\text{BA}} \right)\).
4. Démontrer que les points \(\text{E, F}\) et \(\text{G}\) sont alignés.